زگ زیگ تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے مقعر جالی کور کے ساتھ جامع سینڈوچ پینلز کا موڑنے کا تجزیہ

Nature.com پر جانے کا شکریہ۔ آپ محدود سی ایس ایس سپورٹ کے ساتھ براؤزر کا ورژن استعمال کر رہے ہیں۔ بہترین تجربے کے لیے، ہم تجویز کرتے ہیں کہ آپ ایک اپ ڈیٹ شدہ براؤزر استعمال کریں (یا انٹرنیٹ ایکسپلورر میں مطابقت موڈ کو غیر فعال کریں)۔ اس دوران، جاری تعاون کو یقینی بنانے کے لیے، ہم اس سائٹ کو بغیر اسٹائل اور جاوا اسکرپٹ کے دکھا رہے ہیں۔
سینڈوچ پینل ڈھانچے ان کی اعلی میکانی خصوصیات کی وجہ سے بہت سی صنعتوں میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں۔ ان ڈھانچے کی اندرونی تہہ مختلف لوڈنگ حالات میں ان کی میکانکی خصوصیات کو کنٹرول کرنے اور بہتر بنانے میں ایک بہت اہم عنصر ہے۔ مقعر جالی کے ڈھانچے کئی وجوہات کی بنا پر اس طرح کے سینڈوچ ڈھانچے میں انٹرلیئر کے طور پر استعمال کرنے کے لیے بہترین امیدوار ہیں، یعنی ان کی لچک (مثلاً، پوسن کے تناسب اور لچکدار سختی کی قدروں) اور سادگی کے لیے نرمی (مثلاً، اعلی لچک)۔ طاقت سے وزن کے تناسب کی خصوصیات صرف جیومیٹرک عناصر کو ایڈجسٹ کرکے حاصل کی جاتی ہیں جو یونٹ سیل بناتے ہیں۔ یہاں، ہم تجزیاتی (یعنی، زگ زیگ تھیوری)، کمپیوٹیشنل (یعنی محدود عنصر) اور تجرباتی ٹیسٹوں کا استعمال کرتے ہوئے 3-پرت مقعر کور سینڈوچ پینل کے لچکدار ردعمل کی چھان بین کرتے ہیں۔ ہم نے سینڈوچ کی ساخت کے مجموعی مکینیکل رویے پر مقعر جالی ساخت کے مختلف جیومیٹرک پیرامیٹرز (مثلاً زاویہ، موٹائی، یونٹ سیل کی لمبائی سے اونچائی کے تناسب) کے اثر کا بھی تجزیہ کیا۔ ہم نے پایا ہے کہ آکسیٹک رویے والے بنیادی ڈھانچے (یعنی منفی پوسن کا تناسب) روایتی گریٹنگز کے مقابلے میں زیادہ لچکدار طاقت اور کم سے کم ہوائی جہاز سے باہر قینچ کے دباؤ کی نمائش کرتے ہیں۔ ہماری تلاشیں ایرو اسپیس اور بائیو میڈیکل ایپلی کیشنز کے لیے آرکیٹیکچرل کور جالیوں کے ساتھ جدید انجینئرڈ ملٹی لیئر ڈھانچے کی ترقی کی راہ ہموار کر سکتی ہیں۔
ان کی اعلی طاقت اور کم وزن کی وجہ سے، سینڈوچ کے ڈھانچے کو بہت سی صنعتوں میں بڑے پیمانے پر استعمال کیا جاتا ہے، بشمول مکینیکل اور کھیلوں کے سامان کے ڈیزائن، میرین، ایرو اسپیس، اور بائیو میڈیکل انجینئرنگ۔ مقعر جالی ڈھانچے ایک ممکنہ امیدوار ہیں جن کو ان کی اعلی توانائی جذب کرنے کی صلاحیت اور اعلی طاقت سے وزن کے تناسب کی خصوصیات 1,2,3 کی وجہ سے اس طرح کے جامع ڈھانچے میں بنیادی تہوں کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ ماضی میں، مکینیکل خصوصیات کو مزید بہتر بنانے کے لیے مقعر جالیوں کے ساتھ ہلکے وزن کے سینڈوچ ڈھانچے کو ڈیزائن کرنے کی بڑی کوششیں کی گئی ہیں۔ اس طرح کے ڈیزائنوں کی مثالوں میں جہاز کے ہولوں میں زیادہ دباؤ کا بوجھ اور آٹوموبائل میں جھٹکا جذب کرنے والے 4,5 شامل ہیں۔ مقعر جالی کا ڈھانچہ بہت مقبول، منفرد اور سینڈوچ پینل کی تعمیر کے لیے موزوں ہونے کی وجہ یہ ہے کہ اس کی ایلسٹومیکینیکل خصوصیات کو آزادانہ طور پر ٹیون کرنے کی صلاحیت ہے (مثلاً لچکدار سختی اور پوسن کا موازنہ)۔ ایسی ہی ایک دلچسپ خاصیت آکسیٹک رویہ (یا منفی پوسن کا تناسب) ہے، جو طولانی طور پر کھینچے جانے پر جالی کے ڈھانچے کے پس منظر کی توسیع کو کہتے ہیں۔ یہ غیر معمولی رویہ اس کے اجزاء کے ابتدائی خلیات 7,8,9 کے مائیکرو اسٹرکچرل ڈیزائن سے متعلق ہے۔
آکسیٹک فومز کی تیاری میں لیکس کی ابتدائی تحقیق کے بعد سے، منفی پوسن کے تناسب 10,11 کے ساتھ غیر محفوظ ڈھانچے تیار کرنے کے لیے اہم کوششیں کی گئی ہیں۔ اس مقصد کو حاصل کرنے کے لیے کئی جیومیٹریاں تجویز کی گئی ہیں، جیسے کہ چیرل، نیم سخت، اور سخت گھومنے والے یونٹ سیل، 12 یہ سبھی آکسیٹک رویے کی نمائش کرتے ہیں۔ اضافی مینوفیکچرنگ (AM، جسے 3D پرنٹنگ بھی کہا جاتا ہے) ٹیکنالوجیز کی آمد نے ان 2D یا 3D آکسیٹک ڈھانچے کے نفاذ میں بھی سہولت فراہم کی ہے۔
آکسیٹک سلوک منفرد میکانی خصوصیات فراہم کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، Lakes اور Elms14 نے دکھایا ہے کہ auxetic foams میں زیادہ پیداواری طاقت، زیادہ اثر والی توانائی جذب کرنے کی صلاحیت، اور روایتی جھاگوں کے مقابلے میں کم سختی ہوتی ہے۔ آکسیٹک فومز کی متحرک میکانی خصوصیات کے حوالے سے، یہ متحرک بریکنگ بوجھ کے تحت زیادہ مزاحمت اور خالص تناؤ کے تحت زیادہ لمبا پن دکھاتے ہیں۔ مزید برآں، مرکبات میں آکسیٹک ریشوں کا استعمال ان کی میکانکی خصوصیات کو بہتر بنائے گا اور فائبر اسٹریچ 17 کی وجہ سے ہونے والے نقصان کے خلاف مزاحمت کرے گا۔
تحقیق نے یہ بھی دکھایا ہے کہ مقعر آکسیٹک ڈھانچے کو خمیدہ جامع ڈھانچے کے بنیادی کے طور پر استعمال کرنے سے ان کی ہوائی جہاز سے باہر کی کارکردگی کو بہتر بنایا جا سکتا ہے، بشمول لچکدار سختی اور طاقت18۔ پرتوں والے ماڈل کا استعمال کرتے ہوئے، یہ بھی دیکھا گیا ہے کہ ایک آکسیٹک کور کمپوزٹ پینلز کی فریکچر کی طاقت کو بڑھا سکتا ہے۔ آکسیٹک ریشوں کے ساتھ مرکبات روایتی ریشوں کے مقابلے میں شگاف کے پھیلاؤ کو بھی روکتے ہیں۔
Zhang et al.21 نے سیل کے ڈھانچے کو واپس کرنے کے متحرک تصادم کے رویے کی ماڈلنگ کی۔ انہوں نے پایا کہ آکسیٹک یونٹ سیل کے زاویہ کو بڑھا کر وولٹیج اور توانائی کے جذب کو بہتر بنایا جا سکتا ہے، جس کے نتیجے میں پوائسن کے زیادہ منفی تناسب کے ساتھ گریٹنگ ہوتی ہے۔ انہوں نے یہ بھی تجویز کیا کہ اس طرح کے آکسیٹک سینڈوچ پینلز کو ہائی سٹرین ریٹ امپیکٹ بوجھ کے خلاف حفاظتی ڈھانچے کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے۔ Imbalzano et al.22 نے یہ بھی رپورٹ کیا کہ آکسیٹک کمپوزٹ شیٹس پلاسٹک کی خرابی کے ذریعے زیادہ توانائی (یعنی دوگنا زیادہ) ضائع کر سکتی ہیں اور سنگل پلائی شیٹس کے مقابلے میں ریورس سائیڈ پر ٹاپ اسپیڈ کو 70 فیصد کم کر سکتی ہیں۔
حالیہ برسوں میں، آکسیٹک فلر کے ساتھ سینڈوچ ڈھانچے کے عددی اور تجرباتی مطالعے پر بہت زیادہ توجہ دی گئی ہے۔ یہ مطالعات ان سینڈوچ ڈھانچے کی مکینیکل خصوصیات کو بہتر بنانے کے طریقوں پر روشنی ڈالتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کافی موٹی آکسیٹک پرت کو سینڈوچ پینل کے کور کے طور پر غور کرنے کے نتیجے میں ینگز ماڈیولس سخت ترین پرت سے زیادہ موثر ہو سکتا ہے23۔ اس کے علاوہ، لیمینیٹڈ بیم 24 یا آکسیٹک کور ٹیوب 25 کے موڑنے والے رویے کو آپٹیمائزیشن الگورتھم کے ساتھ بہتر بنایا جا سکتا ہے۔ زیادہ پیچیدہ بوجھ کے تحت توسیع پذیر بنیادی سینڈوچ ڈھانچے کی میکانکی جانچ کے بارے میں دیگر مطالعات ہیں۔ مثال کے طور پر، آکسیٹک ایگریگیٹس کے ساتھ کنکریٹ کمپوزائٹس کی کمپریشن ٹیسٹنگ، دھماکہ خیز بوجھ کے تحت سینڈوچ پینلز27، موڑنے والے ٹیسٹ28 اور کم رفتار کے اثرات کے ٹیسٹ29، نیز فنکشنل طور پر مختلف آکسیٹک ایگریگیٹس کے ساتھ سینڈوچ پینلز کے غیر لکیری موڑنے کا تجزیہ۔
چونکہ اس طرح کے ڈیزائنوں کے کمپیوٹر کی نقالی اور تجرباتی تشخیص اکثر وقت طلب اور مہنگے ہوتے ہیں، اس لیے ایسے نظریاتی طریقوں کو تیار کرنے کی ضرورت ہے جو صوابدیدی لوڈنگ کے حالات میں ملٹی لیئر آکسیٹک بنیادی ڈھانچے کو ڈیزائن کرنے کے لیے ضروری معلومات کو موثر اور درست طریقے سے فراہم کر سکیں۔ مناسب وقت. تاہم، جدید تجزیاتی طریقوں کی کئی حدود ہیں۔ خاص طور پر، یہ نظریات نسبتاً موٹے جامع مواد کے رویے کی پیش گوئی کرنے اور وسیع پیمانے پر مختلف لچکدار خصوصیات کے ساتھ متعدد مواد پر مشتمل مرکبات کا تجزیہ کرنے کے لیے کافی درست نہیں ہیں۔
چونکہ یہ تجزیاتی ماڈل لاگو بوجھ اور باؤنڈری حالات پر منحصر ہیں، اس لیے یہاں ہم آکسیٹک کور سینڈوچ پینلز کے لچکدار رویے پر توجہ مرکوز کریں گے۔ اس طرح کے تجزیوں کے لیے استعمال ہونے والا مساوی سنگل پرت کا نظریہ اعتدال پسند موٹائی والے سینڈوچ کمپوزٹ میں انتہائی غیر ہم آہنگ ٹکڑے ٹکڑے میں قینچ اور محوری دباؤ کی صحیح طور پر پیش گوئی نہیں کر سکتا۔ مزید یہ کہ، کچھ نظریات میں (مثال کے طور پر، تہہ دار نظریہ میں)، کائینیمیٹک متغیرات کی تعداد (مثال کے طور پر، نقل مکانی، رفتار، وغیرہ) تہوں کی تعداد پر مضبوطی سے منحصر ہوتی ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہر پرت کی حرکت کے میدان کو آزادانہ طور پر بیان کیا جا سکتا ہے، جبکہ بعض جسمانی تسلسل کی رکاوٹوں کو پورا کیا جا سکتا ہے۔ لہذا، یہ ماڈل میں متغیرات کی ایک بڑی تعداد کو مدنظر رکھتا ہے، جو اس نقطہ نظر کو کمپیوٹیشنل طور پر مہنگا بناتا ہے۔ ان حدود پر قابو پانے کے لیے، ہم زگ زیگ تھیوری پر مبنی ایک نقطہ نظر تجویز کرتے ہیں، جو کثیر سطحی نظریہ کا ایک مخصوص ذیلی طبقہ ہے۔ یہ تھیوری جہاز میں نقل مکانی کے زگ زیگ پیٹرن کو فرض کرتے ہوئے، ٹکڑے ٹکڑے کی پوری موٹائی میں قینچ کے دباؤ کا تسلسل فراہم کرتی ہے۔ اس طرح، زگ زیگ تھیوری لیمینیٹ میں تہوں کی تعداد سے قطع نظر کائیمیٹک متغیرات کی ایک ہی تعداد دیتی ہے۔
موڑنے والے بوجھ کے نیچے مقعر کور کے ساتھ سینڈوچ پینلز کے رویے کی پیشن گوئی کرنے میں ہمارے طریقہ کار کی طاقت کا مظاہرہ کرنے کے لیے، ہم نے اپنے نتائج کا موازنہ کلاسیکی نظریات (یعنی کمپیوٹیشنل ماڈلز (یعنی محدود عناصر) کے ساتھ اور تجرباتی ڈیٹا (یعنی تین نکاتی موڑنے) کے ساتھ کیا۔ 3D پرنٹ شدہ سینڈوچ پینلز)۔اس مقصد کے لیے، ہم نے پہلے زگ زیگ تھیوری کی بنیاد پر نقل مکانی کا رشتہ اخذ کیا، اور پھر ہیملٹن اصول کا استعمال کرتے ہوئے تشکیلاتی مساوات حاصل کیں اور انہیں گیلرکن طریقہ استعمال کرتے ہوئے حل کیا۔ حاصل کردہ نتائج متعلقہ ڈیزائن کے لیے ایک طاقتور ٹول ہیں۔ آکسیٹک فلرز کے ساتھ سینڈوچ پینلز کے جیومیٹرک پیرامیٹرز، بہتر میکانی خصوصیات کے ساتھ ڈھانچے کی تلاش میں سہولت فراہم کرتے ہیں۔
تین پرتوں والے سینڈوچ پینل پر غور کریں (تصویر 1)۔ جیومیٹرک ڈیزائن کے پیرامیٹرز: اوپر کی تہہ \({h}_{t}\)، درمیانی تہہ \({h}_{c}\) اور نیچے کی تہہ \({h}_{ b }\) موٹائی۔ ہم قیاس کرتے ہیں کہ ساختی کور ایک پٹی ہوئی جالی ساخت پر مشتمل ہے۔ ڈھانچہ ابتدائی خلیوں پر مشتمل ہوتا ہے جو ایک دوسرے کے ساتھ ترتیب کے ساتھ ترتیب دیا جاتا ہے۔ مقعر کی ساخت کے ہندسی پیرامیٹرز کو تبدیل کرنے سے، اس کی میکانکی خصوصیات (یعنی، پوسن کے تناسب اور لچکدار سختی کی اقدار) کو تبدیل کرنا ممکن ہے۔ ابتدائی سیل کے جیومیٹریکل پیرامیٹرز کو انجیر میں دکھایا گیا ہے۔ 1 بشمول زاویہ (θ)، لمبائی (h)، اونچائی (L) اور کالم کی موٹائی (t)۔
زگ زیگ تھیوری اعتدال پسند موٹائی کے تہہ دار جامع ڈھانچے کے تناؤ اور تناؤ کے رویے کی بہت درست پیشین گوئیاں فراہم کرتی ہے۔ زگ زیگ تھیوری میں ساختی نقل مکانی دو حصوں پر مشتمل ہے۔ پہلا حصہ مجموعی طور پر سینڈوچ پینل کے رویے کو ظاہر کرتا ہے، جبکہ دوسرا حصہ تہوں کے درمیان رویے کو دیکھتا ہے تاکہ قینچ کے دباؤ کے تسلسل کو یقینی بنایا جا سکے (یا نام نہاد زگ زیگ فنکشن)۔ اس کے علاوہ، زگ زیگ عنصر ٹکڑے ٹکڑے کی بیرونی سطح پر غائب ہو جاتا ہے، نہ کہ اس تہہ کے اندر۔ اس طرح، زگ زیگ فنکشن اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ ہر پرت کل کراس سیکشنل اخترتی میں حصہ ڈالتی ہے۔ یہ اہم فرق زگ زیگ فنکشن کی دیگر زگ زیگ افعال کے مقابلے میں زیادہ حقیقت پسندانہ جسمانی تقسیم فراہم کرتا ہے۔ موجودہ تبدیل شدہ زگ زیگ ماڈل انٹرمیڈیٹ پرت کے ساتھ ٹرانسورس شیئر تناؤ کا تسلسل فراہم نہیں کرتا ہے۔ لہذا، زگ زیگ تھیوری کی بنیاد پر نقل مکانی کا میدان مندرجہ ذیل 31 لکھا جا سکتا ہے۔
مساوات میں (1)، k=b، c اور t بالترتیب نیچے، درمیانی اور اوپری تہوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ کارٹیشین محور (x, y, z) کے ساتھ درمیانی طیارہ کی نقل مکانی کا میدان (u, v, w) ہے، اور (x, y) محور کے گرد ہوائی جہاز میں موڑنے والی گردش ہے \({\uptheta} _) {x}\) اور \ ({\uptheta}_{y}\)۔ \({\psi}_{x}\) اور \({\psi}_{y}\) زگ زیگ گردش کی مقامی مقداریں ہیں، اور \({\phi}_{x}^{k}\) بائیں ( z \right)\) اور \({\phi}_{y}^{k}\left(z\right)\) زگ زیگ فنکشنز ہیں۔
زگ زیگ کا طول و عرض اطلاق شدہ بوجھ پر پلیٹ کے اصل ردعمل کا ایک ویکٹر فنکشن ہے۔ وہ زگ زیگ فنکشن کی مناسب پیمانہ فراہم کرتے ہیں، اس طرح جہاز میں نقل مکانی میں زگ زیگ کی مجموعی شراکت کو کنٹرول کرتے ہیں۔ پلیٹ کی موٹائی میں قینچ کا تناؤ دو اجزاء پر مشتمل ہوتا ہے۔ پہلا حصہ قینچ کا زاویہ ہے، جو ٹکڑے ٹکڑے کی موٹائی میں یکساں ہے، اور دوسرا حصہ ایک ٹکڑا وار مستقل فعل ہے، جو ہر ایک تہہ کی موٹائی میں یکساں ہے۔ ان ٹکڑوں کے مطابق مستقل افعال کے مطابق، ہر پرت کے زگ زیگ فنکشن کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے:
مساوات میں (2)، \({c}_{11}^{k}\) اور \({c}_{22}^{k}\) ہر پرت کے لچکدار مستقل ہیں، اور h کی کل موٹائی ہے ڈسک اس کے علاوہ، \({G}_{x}\) اور \({G}_{y}\) وزنی اوسط شیئر سختی کے گتانک ہیں، جن کا اظہار 31 کے طور پر کیا گیا ہے:
دو زگ زیگ طول و عرض کے افعال (مساوات (3)) اور باقی پانچ کائینیمیٹک متغیرات (مساوات (2)) پہلے آرڈر کے شیئر ڈیفارمیشن تھیوری کے اس ترمیم شدہ زگ زیگ پلیٹ تھیوری متغیر سے وابستہ سات کائینیٹکس کا ایک مجموعہ تشکیل دیتے ہیں۔ اخترتی کے ایک لکیری انحصار کو فرض کرتے ہوئے اور زگ زیگ تھیوری کو مدنظر رکھتے ہوئے، کارٹیشین کوآرڈینیٹ سسٹم میں اخترتی فیلڈ کو اس طرح حاصل کیا جا سکتا ہے:
جہاں \({\varepsilon}_{yy}\) اور \({\varepsilon}_{xx}\) عام خرابی ہیں، اور \({\gamma}_{yz},{\gamma}_{xz} \ ) اور \({\gamma}_{xy}\) قینچ کی خرابی ہیں۔
ہوک کے قانون کا استعمال کرتے ہوئے اور زگ زیگ تھیوری کو مدنظر رکھتے ہوئے، مقعر جالی ساخت کے ساتھ آرتھوٹروپک پلیٹ کے تناؤ اور تناؤ کے درمیان تعلق کو مساوات (1) سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ (5)32 جہاں \({c}_{ij}\) سٹریس سٹرین میٹرکس کا لچکدار مستقل ہے۔
جہاں \({G}_{ij}^{k}\), \({E}_{ij}^{k}\) اور \({v}_{ij}^{k}\) کاٹا گیا ہے قوت مختلف سمتوں میں ماڈیولس ہے، ینگ کا ماڈیولس اور پوسن کا تناسب۔ یہ گتانک آاسوٹوپک پرت کے لیے تمام سمتوں میں برابر ہیں۔ اس کے علاوہ، جالی کے واپس آنے والے مرکزے کے لیے، جیسا کہ تصویر 1 میں دکھایا گیا ہے، ان خصوصیات کو 33 کے طور پر دوبارہ لکھا جا سکتا ہے۔
ایک مقعر جالی کور کے ساتھ ملٹی لیئر پلیٹ کی حرکت کی مساوات پر ہیملٹن کے اصول کا اطلاق ڈیزائن کے لیے بنیادی مساوات فراہم کرتا ہے۔ ہیملٹن کے اصول کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے:
ان میں، δ تغیراتی آپریٹر کی نمائندگی کرتا ہے، U دباؤ کی ممکنہ توانائی کی نمائندگی کرتا ہے، اور W بیرونی قوت کے ذریعے کیے گئے کام کی نمائندگی کرتا ہے۔ مجموعی ممکنہ تناؤ کی توانائی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کی جاتی ہے۔ (9)، جہاں A درمیانی طیارے کا خطہ ہے۔
z سمت میں بوجھ (p) کا یکساں اطلاق فرض کرتے ہوئے، بیرونی قوت کا کام درج ذیل فارمولے سے حاصل کیا جا سکتا ہے:
مساوات مساوات (4) اور (5) (9) کو تبدیل کریں اور مساوات کو تبدیل کریں۔ (9) اور (10) (8) اور پلیٹ کی موٹائی پر ضم ہونا، مساوات: (8) کو اس طرح دوبارہ لکھا جا سکتا ہے:
انڈیکس \(\phi\) زگ زیگ فنکشن کی نمائندگی کرتا ہے، \({N}_{ij}\) اور \({Q}_{iz}\) ہوائی جہاز کے اندر اور باہر قوتیں ہیں، \({M} _{ij }\) موڑنے والے لمحے کی نمائندگی کرتا ہے، اور حساب کتاب کا فارمولا درج ذیل ہے:
مساوات میں حصوں کے لحاظ سے انضمام کا اطلاق کرنا۔ فارمولہ (12) میں بدلتے ہوئے اور تغیر کے گتانک کا حساب لگاتے ہوئے، سینڈویچ پینل کی وضاحتی مساوات فارمولہ (12) کی شکل میں حاصل کی جا سکتی ہے۔ (13)۔
آزادانہ طور پر تعاون یافتہ تین پرتوں والی پلیٹوں کے لیے تفریق کنٹرول مساوات کو گیلرکن طریقہ سے حل کیا جاتا ہے۔ نیم جامد حالات کے مفروضے کے تحت، نامعلوم فعل کو ایک مساوات کے طور پر سمجھا جاتا ہے: (14)۔
\({u}_{m,n}\), \({v}_{m,n}\), \({w}_{m,n}\),\({{\uptheta}_ {\mathrm {x}}}_{\mathrm {m} \text{,n}}\),\({{\uptheta }_{\mathrm {y}}}_{\mathrm {m} \text {,n}}\), \({{\uppsi}_{\mathrm{x}}}_{\mathrm{m}\text{,n}}\) اور \({{\uppsi}_{ \mathrm{y}}}_{\mathrm{m}\text{,n}}\) نامعلوم مستقل ہیں جو غلطی کو کم کر کے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ \(\overline{\overline{u}} \left({x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{v}} \left({x{\text) {,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{w}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline) {{{\uptheta}_{x}}}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{{{\uptheta}_{y}} }}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\), \(\overline{\overline{{\psi_{x}}}} \left( {x{\text{, y}}} \right)\) اور \(\overline{\overline{{ \psi_{y} }}} \left( {x{\text{,y}}} \right)\) ٹیسٹ فنکشنز ہیں، جو کم از کم ضروری حدود کی شرائط کو پورا کرے۔ صرف تائید شدہ باؤنڈری حالات کے لیے، ٹیسٹ فنکشن کو اس طرح دوبارہ شمار کیا جا سکتا ہے:
مساوات کا متبادل الجبری مساوات دیتا ہے۔ (14) گورننگ مساوات تک، جو مساوات میں نامعلوم گتانک حاصل کرنے کا باعث بن سکتی ہے (14)۔ (14)۔
ہم محدود عنصر ماڈلنگ (FEM) کا استعمال کرتے ہیں کمپیوٹر کے لیے ایک آزادانہ طور پر تعاون یافتہ سینڈوچ پینل کو موڑنے کے لیے ایک مقعر جالی ساخت کے ساتھ بنیادی طور پر۔ تجزیہ تجارتی محدود عنصری کوڈ میں کیا گیا تھا (مثال کے طور پر، Abaqus ورژن 6.12.1)۔ 3D ہیکسہیڈرل ٹھوس عناصر (C3D8R) آسان انضمام کے ساتھ اوپر اور نیچے کی تہوں کو ماڈل کرنے کے لیے استعمال کیے گئے تھے، اور لکیری ٹیٹراہیڈرل عناصر (C3D4) کو درمیانی (مقعد) جالی ساخت کے ماڈل کے لیے استعمال کیا گیا تھا۔ ہم نے میش کی ہم آہنگی کو جانچنے کے لیے میش کی حساسیت کا تجزیہ کیا اور یہ نتیجہ اخذ کیا کہ نقل مکانی کے نتائج تین تہوں کے درمیان سب سے چھوٹی خصوصیت کے سائز میں بدل گئے۔ سینڈوچ پلیٹ کو سائنوسائیڈل لوڈ فنکشن کا استعمال کرتے ہوئے لوڈ کیا جاتا ہے، چار کناروں پر آزادانہ طور پر تعاون یافتہ باؤنڈری حالات کو مدنظر رکھتے ہوئے۔ لکیری لچکدار مکینیکل رویے کو تمام تہوں کو تفویض کردہ مادی ماڈل کے طور پر سمجھا جاتا ہے۔ تہوں کے درمیان کوئی خاص رابطہ نہیں ہے، وہ ایک دوسرے سے جڑے ہوئے ہیں۔
ہم نے اپنا پروٹو ٹائپ بنانے کے لیے 3D پرنٹنگ تکنیک کا استعمال کیا (یعنی ٹرپل پرنٹ شدہ آکسیٹک کور سینڈوچ پینل) اور اسی طرح کے موڑنے والے حالات (z-سمت کے ساتھ یکساں بوجھ پی) اور باؤنڈری حالات (یعنی صرف سپورٹڈ) کو لاگو کرنے کے لیے اسی طرح کے کسٹم تجرباتی سیٹ اپ کا استعمال کیا۔ ہمارے تجزیاتی نقطہ نظر میں فرض کیا گیا (تصویر 1)۔
تھری ڈی پرنٹر پر چھپی ہوئی سینڈوچ پینل دو کھالوں (اوپری اور نچلی) اور ایک مقعر جالی کور پر مشتمل ہے، جس کے طول و عرض جدول 1 میں دکھائے گئے ہیں، اور اسے جمع کرنے کا طریقہ استعمال کرتے ہوئے الٹی میکر 3 3D پرنٹر (اٹلی) پر تیار کیا گیا تھا۔ ایف ڈی ایم)۔ ٹیکنالوجی اس کے عمل میں استعمال کیا جاتا ہے. ہم نے بیس پلیٹ اور مین آکسیٹک جالی کے ڈھانچے کو ایک ساتھ 3D پرنٹ کیا، اور اوپر کی پرت کو الگ سے پرنٹ کیا۔ یہ سپورٹ ہٹانے کے عمل کے دوران کسی بھی پیچیدگی سے بچنے میں مدد کرتا ہے اگر پورے ڈیزائن کو ایک ساتھ پرنٹ کرنا ہو۔ تھری ڈی پرنٹنگ کے بعد، دو الگ الگ حصوں کو سپر گلو کا استعمال کرتے ہوئے ایک ساتھ چپکا دیا جاتا ہے۔ ہم نے ان اجزاء کو پولی لیکٹک ایسڈ (PLA) کا استعمال کرتے ہوئے سب سے زیادہ انفل کثافت (یعنی 100%) پر پرنٹ کیا تاکہ مقامی پرنٹنگ کی خرابیوں کو روکا جا سکے۔
حسب ضرورت کلیمپنگ سسٹم ہمارے تجزیاتی ماڈل میں اختیار کیے گئے انہی سادہ سپورٹ باؤنڈری حالات کی نقل کرتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ گرفت کا نظام بورڈ کو اپنے کناروں کے ساتھ x اور y سمتوں میں حرکت کرنے سے روکتا ہے، جس سے یہ کناروں کو x اور y محوروں کے گرد آزادانہ طور پر گھومنے کی اجازت دیتا ہے۔ یہ گرپنگ سسٹم (تصویر 2) کے چار کناروں پر رداس r = h/2 کے ساتھ فللیٹس پر غور کرکے کیا جاتا ہے۔ یہ کلیمپنگ سسٹم اس بات کو بھی یقینی بناتا ہے کہ لاگو لوڈ مکمل طور پر ٹیسٹنگ مشین سے پینل میں منتقل ہو جائے اور پینل کی سینٹر لائن لائن (تصویر 2) کے ساتھ منسلک ہو۔ ہم نے گرفت سسٹم کو پرنٹ کرنے کے لیے ملٹی جیٹ 3D پرنٹنگ ٹیکنالوجی (ObjetJ735 Connex3, Stratasys® Ltd., USA) اور سخت تجارتی ریزنز (جیسے ویرو سیریز) کا استعمال کیا۔
3D پرنٹ شدہ کسٹم گرپنگ سسٹم کا اسکیمیٹک ڈایاگرام اور اس کی اسمبلی 3D پرنٹ شدہ سینڈوچ پینل کے ساتھ ایک آکسیٹک کور کے ساتھ۔
ہم مکینیکل ٹیسٹ بینچ (Lloyd LR، load cell = 100 N) کا استعمال کرتے ہوئے حرکت پر قابو پانے والے کواسی سٹیٹک کمپریشن ٹیسٹ کرتے ہیں اور 20 Hz کی نمونے کی شرح پر مشینی قوتوں اور نقل مکانی کو جمع کرتے ہیں۔
یہ حصہ مجوزہ سینڈوچ ڈھانچے کا عددی مطالعہ پیش کرتا ہے۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ اوپر اور نیچے کی تہیں کاربن ایپوکسی رال سے بنی ہیں، اور مقعر کور کی جالی ساخت پولیمر سے بنی ہے۔ اس مطالعے میں استعمال ہونے والے مواد کی مکینیکل خصوصیات کو ٹیبل 2 میں دکھایا گیا ہے۔ اس کے علاوہ، نقل مکانی کے نتائج اور تناؤ کے شعبوں کے جہتی تناسب کو جدول 3 میں دکھایا گیا ہے۔
یکساں طور پر بھری ہوئی آزادانہ حمایت یافتہ پلیٹ کی زیادہ سے زیادہ عمودی جہت کے بغیر نقل مکانی کا موازنہ مختلف طریقوں سے حاصل کردہ نتائج سے کیا گیا تھا (ٹیبل 4)۔ مجوزہ نظریہ، محدود عنصر کے طریقہ کار اور تجرباتی تصدیقوں کے درمیان اچھا معاہدہ ہے۔
ہم نے ترمیم شدہ زگ زیگ تھیوری (RZT) کے عمودی نقل مکانی کا موازنہ 3D لچک تھیوری (Pagano)، فرسٹ آرڈر شیئر ڈیفارمیشن تھیوری (FSDT)، اور FEM نتائج (تصویر 3 دیکھیں) سے کیا۔ موٹی ملٹی لیئر پلیٹوں کے نقل مکانی کے خاکوں پر مبنی فرسٹ آرڈر شیئر تھیوری، لچکدار محلول سے زیادہ مختلف ہے۔ تاہم، تبدیل شدہ زگ زیگ تھیوری بہت درست نتائج کی پیشین گوئی کرتی ہے۔ اس کے علاوہ، ہم نے مختلف تھیوریز کے آؤٹ آف پلین شیئر اسٹریس اور ان پلین نارمل اسٹریس کا بھی موازنہ کیا، جن میں سے زگ زیگ تھیوری نے FSDT (تصویر 4) سے زیادہ درست نتائج حاصل کیے۔
y = b/2 پر مختلف تھیوریز کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیے گئے معمول کے عمودی تناؤ کا موازنہ۔
سینڈویچ پینل کی موٹائی میں قینچ کے تناؤ (a) اور نارمل تناؤ (b) میں تبدیلی، مختلف تھیوریز کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جاتا ہے۔
اگلا، ہم نے سینڈوچ پینل کی مجموعی مکینیکل خصوصیات پر مقعر کور کے ساتھ یونٹ سیل کے جیومیٹرک پیرامیٹرز کے اثر و رسوخ کا تجزیہ کیا۔ یونٹ سیل زاویہ 34,35,36 ری اینٹرینٹ لیٹیس ڈھانچے کے ڈیزائن میں سب سے اہم جیومیٹرک پیرامیٹر ہے۔ لہذا، ہم نے پلیٹ کے کل انحراف (تصویر 5) پر یونٹ سیل زاویہ کے اثر و رسوخ کے ساتھ ساتھ کور کے باہر موٹائی کا حساب لگایا۔ جیسے جیسے درمیانی تہہ کی موٹائی بڑھتی ہے، زیادہ سے زیادہ جہت کے بغیر انحراف کم ہوتا جاتا ہے۔ موٹی بنیادی تہوں کے لیے نسبتاً موڑنے کی طاقت بڑھتی ہے اور جب \(\frac{{h}_{c}}{h}=1\) (یعنی، جب ایک مقعر پرت ہو)۔ ایک آکسیٹک یونٹ سیل والے سینڈوچ پینلز (یعنی \(\theta=70^\circ\)) میں سب سے چھوٹی نقل مکانی ہوتی ہے (تصویر 5)۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ آکسیٹک کور کی موڑنے کی طاقت روایتی آکسیٹک کور کی نسبت زیادہ ہے، لیکن کم کارگر ہے اور اس میں پوسن کا مثبت تناسب ہے۔
مختلف یونٹ سیل زاویوں اور ہوائی جہاز سے باہر موٹائی کے ساتھ مقعر جالی چھڑی کا معمول کے مطابق زیادہ سے زیادہ انحراف۔
آکسیٹک گریٹنگ کے کور کی موٹائی اور اسپیکٹ ریشو (یعنی \(\theta=70^\circ\)) سینڈوچ پلیٹ کی زیادہ سے زیادہ نقل مکانی کو متاثر کرتی ہے (شکل 6)۔ یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ پلیٹ کا زیادہ سے زیادہ انحراف h/l بڑھنے کے ساتھ بڑھتا ہے۔ اس کے علاوہ، آکسیٹک کور کی موٹائی میں اضافہ مقعر کے ڈھانچے کی پورسٹی کو کم کرتا ہے، اس طرح ساخت کی موڑنے کی طاقت میں اضافہ ہوتا ہے۔
مختلف موٹائیوں اور لمبائیوں کے ایک آکسیٹک کور کے ساتھ جعلی ڈھانچے کی وجہ سے سینڈوچ پینلز کا زیادہ سے زیادہ انحراف۔
تناؤ کے شعبوں کا مطالعہ ایک دلچسپ علاقہ ہے جسے یونٹ سیل کے جیومیٹرک پیرامیٹرز کو تبدیل کرکے ملٹی لیئر ڈھانچے کی ناکامی کے طریقوں (مثلاً ڈیلامینیشن) کا مطالعہ کیا جا سکتا ہے۔ Poisson کے تناسب عام کشیدگی کے مقابلے میں ہوائی جہاز کے باہر کینچی کشیدگی کے میدان پر زیادہ اثر ہے (تصویر 7 دیکھیں). اس کے علاوہ، ان gratings کے مواد کی آرتھوٹروپک خصوصیات کی وجہ سے یہ اثر مختلف سمتوں میں غیر ہم آہنگ ہے۔ دیگر جیومیٹرک پیرامیٹرز، جیسے کہ مقعر کے ڈھانچے کی موٹائی، اونچائی، اور لمبائی کا تناؤ کے میدان پر بہت کم اثر پڑا، اس لیے اس مطالعہ میں ان کا تجزیہ نہیں کیا گیا۔
سینڈویچ پینل کی مختلف تہوں میں قینچ کے تناؤ کے اجزاء میں مختلف کنکاویٹی زاویوں کے ساتھ جالی فلر کے ساتھ تبدیلی۔
یہاں، زگ زیگ تھیوری کا استعمال کرتے ہوئے ایک مقعر جالی کور کے ساتھ آزادانہ طور پر تعاون یافتہ ملٹی لیئر پلیٹ کی موڑنے کی طاقت کی جانچ کی جاتی ہے۔ مجوزہ فارمولیشن کا موازنہ دیگر کلاسیکی نظریات کے ساتھ کیا جاتا ہے، بشمول تین جہتی لچک کا نظریہ، فرسٹ آرڈر شیئر ڈیفارمیشن تھیوری، اور FEM۔ ہم 3D پرنٹ شدہ سینڈوچ ڈھانچے پر تجرباتی نتائج کے ساتھ اپنے نتائج کا موازنہ کرکے اپنے طریقہ کار کی توثیق بھی کرتے ہیں۔ ہمارے نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ زگ زیگ تھیوری موڑنے والے بوجھ کے نیچے اعتدال پسند موٹائی کے سینڈوچ ڈھانچے کی اخترتی کی پیش گوئی کرنے کے قابل ہے۔ اس کے علاوہ، سینڈوچ پینلز کے موڑنے والے رویے پر مقعر جالی ساخت کے ہندسی پیرامیٹرز کے اثر و رسوخ کا تجزیہ کیا گیا۔ نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ جیسے جیسے آکسیٹک کی سطح بڑھتی ہے (یعنی، θ <90)، موڑنے کی طاقت بڑھتی ہے۔ اس کے علاوہ، پہلو کے تناسب میں اضافہ اور کور کی موٹائی کو کم کرنے سے سینڈوچ پینل کی موڑنے کی طاقت کم ہو جائے گی۔ آخر میں، ہوائی جہاز سے باہر قینچ کے تناؤ پر پوسن کے تناسب کے اثر کا مطالعہ کیا جاتا ہے، اور اس بات کی تصدیق کی جاتی ہے کہ پرتدار پلیٹ کی موٹائی سے پیدا ہونے والے قینچ کے تناؤ پر پوسن کے تناسب کا سب سے زیادہ اثر ہوتا ہے۔ مجوزہ فارمولے اور نتائج ایرو اسپیس اور بائیو میڈیکل ٹکنالوجی میں بوجھ برداشت کرنے والے ڈھانچے کے ڈیزائن کے لئے ضروری زیادہ پیچیدہ لوڈنگ حالات میں مقعر جالی فلرز کے ساتھ ملٹی لیئر ڈھانچے کے ڈیزائن اور اصلاح کا راستہ کھول سکتے ہیں۔
موجودہ مطالعہ میں استعمال شدہ اور/یا تجزیہ کردہ ڈیٹاسیٹس متعلقہ مصنفین سے معقول درخواست پر دستیاب ہیں۔
Aktai L., Johnson AF اور Kreplin B. Kh. ہنی کامب کور کی تباہی کی خصوصیات کا عددی تخروپن۔ انجینئر فریکٹل کھال 75(9)، 2616–2630 (2008)۔
گبسن ایل جے اور ایشبی ایم ایف پورس سالڈز: سٹرکچر اینڈ پراپرٹیز (کیمبرج یونیورسٹی پریس، 1999)۔